Optimizaciónes el proceso matemático de encontrar la "mejor" solución — ya sea minimizando o maximizando una función objetivo — dentro de una región factible definida, sujeta a reglas específicas.
Métodos Clásicos frente a Métodos Inteligentes
- Método de Newton-Raphson:Un enfoque iterativo para hallar raíces que utiliza derivadas de segundo orden (matriz hessiana).
- Descenso del gradiente:Un método de primer orden que se mueve hacia el mínimo local siguiendo el gradiente negativo.
- Algoritmos Evolutivos (AE):Métodos de búsqueda estocásticos y basados en población inspirados en la selección natural biológica.
Conceptos clave
Es fundamental distinguir entre el Vector de decisión (las variables que modificamos) y el Función objetivo (la métrica de éxito).
Peligros del codificado
Ten cuidado con el Gradiente desvanecido en métodos basados en cálculo y Cantos de Hamming en algoritmos evolutivos binarios. Un simple incremento decimal (por ejemplo, de 7 a 8) puede requerir invertir todos los bits (de 0111 a 1000), creando un "acantilado" que dificulta la eficiencia de la búsqueda. Usa Codificación de Gray para mitigar este problema.
Implementación en Python: Descenso del gradiente
Pregunta 1
¿Por qué un problema de optimización convexa se considera "más fácil" que uno no convexo?
Pregunta 2
En el contexto de los Algoritmos Evolutivos, ¿qué representa el "fenotipo"?
Estudio de caso: Maximizar el área de un triángulo
Lee el escenario siguiente y responde las preguntas de formulación.
Considera el problema de maximizar el área de un triángulo rectángulo donde la longitud de la hipotenusa $c$ es fija.
Q
1. Identifica las variables de decisión y la función objetivo.
Respuesta:
Variables: Las longitudes de los dos catetos, $a$ y $b$.
Función objetivo: Maximizar $Area = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Variables: Las longitudes de los dos catetos, $a$ y $b$.
Función objetivo: Maximizar $Area = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Q
2. Formula la restricción basada en las propiedades geométricas.
Respuesta:
Basado en el teorema de Pitágoras, la restricción es: $a^2 + b^2 = c^2$.
Basado en el teorema de Pitágoras, la restricción es: $a^2 + b^2 = c^2$.
Q
3. Si se usa el método de Newton-Raphson, ¿qué matriz debe calcularse para tener en cuenta las derivadas parciales de segundo orden?
Respuesta:
La Matriz Hessiana ($H$), which contains all second-order partial derivatives of the objective function.
La Matriz Hessiana ($H$), which contains all second-order partial derivatives of the objective function.